Abstract: A. Groth (2006)

Bei der Auswertung umfangreicher Daten sind schnelle und robuste Methoden gefragt. Diese Arbeit beschaftigt sich mit dem Ansatz, Daten nur auf ordinalem Niveau zu analysieren. WÃ¤hrend in der Statistik ordinale Verfahren immer mehr zur Anwendung kommen, gibt es in der Zeitreihenanalyse nur wenige Verfahren. In der ordinalen Analyse interessieren wir uns nicht fÃ¼r die tats?hlichen Werte einer Zeitreihe, sondern lediglich fÃ¼r die Ordnungsrelationen. Damit vernachlÃ¤ssigen wir zwar einerseits eine Menge Information Ã¼ber die Struktur des Systems, andererseits gewinnen die Verfahren jedoch an Robustheit. So Ã¤ndern sich durch eine beliebige, monoton wachsende Amplitudentransformation der Zeitreihe die Relationen nicht, weshalb ordinale Verfahren demgegenÃ¼ber invariant sind. Dies erleichtert die Analyse von Daten erheblich, da Probleme wie Nullpunktsverschiebungen oder Verzerrungen in der Skala vernachlÃ¤ssigbar sind. Zudem ist eine viel schw?here StationaritÃ¤t des zugrunde liegenden Systems erforderlich, insbesondere wenn wir Werte mit einem nicht allzu groÃŸen zeitlichen Abstand betrachten.

Um die zeitliche Dynamik eines Systems und dessen Wiederkehrzeiten im Phasenraum zu beschreiben, werden in AbhÃ¤ngigkeit von der Problemstellung verschiedene AnsÃ¤tze diskutiert. Nur mit Mitteln der ordinalen Zeitreihenanalyse modellieren wir die Wiederkehr zunÃ¤chst innerhalb einer Trajektorie (univariate Zeitreihenanalyse). Wir erhalten damit eine Statistik, die gegenÃ¼ber einer groÃŸen Klasse periodischer Funktionen invariant ist. In einer Anwendung zur Sprachverarbeitung kann daraus ein robuster SchÃ¤tzer zur Bestimmung der Pitchperiode abgeleitet werden.

Danach verallgemeinern wir das Modell einer ordinalen Wiederkehr auf einen Vergleich zwischen zwei Trajektorien (bivariate Zeitreihenanalyse). Eine darauf aufbauende Statistik ermÃ¶glicht eine robuste Analyse der Synchronisation von gekoppelten Oszillatoren. Bei der Auswertung von Elektroenzephalogrammen tritt der Vorteil einer ordinalen Herangehensweise deutlich hervor. In diesem Fall kann nicht davon ausgegangen werden, dass die Messbedingungen zeitlich konstant sind. Die Daten kÃ¶nnen aufgrund vieler Faktoren in der Amplitudenskala oder dem Nullpunkt stark variieren und sind deshalb auf einer metrischen Skala schwierig auszuwerten. Durch den Ãœbergang zu einer ordinalen Skala werden die Daten gefiltert, wobei diese Arbeit u.a. auch der Frage nach geeigneten Parametern nachgeht.

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Analyse der Wiederkehr in dynamischen Systemen auf einer Ordinalskala